Физико-математические науки

 

Обобщенная задача математического программирования при моделировании сложных экологических систем

Ефремова Наталия Алексеевна – кандидат физико-математических наук, доцент Московского государственного машиностроительного университета. (МАМИ, г.Москва)

Гришина Елена Витальевна - кандидат физико-математических наук, доцент Московского государственного машиностроительного университета. (МАМИ, г.Москва)

В качестве методов анализа сложных систем в основном используют оптимизационные методы с единственным критерием выбора (методы математического программирования), но часто более адекватными реальным условиям являются многокритериальные методы, которые, к сожалению, в настоящее время недостаточно развиты. В данной работе предлагается использовать иерархические структуры, содержащие обобщённые задачи математического программирования [1], где критерии и ограничения формулируются в терминах бинарных отношений.

Важность и актуальность представленной проблематики определяется не только необходимостью понижения размерности многих практических задач, но прежде всего необходимостью изучения сложных систем, математическое описание которых достигается лишь в некоторых комплексах моделей. Необходимость получения согласованных решений порождает потребность в теоретических и экспериментальных исследованиях методов согласования решений взаимосвязанных задач, поскольку без развитой математической теории иерархических систем и её приложений к различным предметным областям невозможна разработка действительно новых информационных технологий.

Сложнейшей системой, имеющей развитую иерархическую структуру, является биосфера. Биосфера, как известно, состоит из биом, биомы распадаются на экосистемы, экосистемы – на популяции, виды – на подвиды.

Пусть на j – ом уровне, j = 0,1,…k, схемы сравнения подсистема описывается вектором x_j, x_j∈X_j, x_j = (x_j1, x_j2,...,x_jn)Так, если мы рассматриваем водную экосистему, вектор x_j - формализация качества воды, x_li - отдельная измеряемая характеристика (например, концентрация содержащихся в воде веществ). Далее определим e_j=(e_j1, e_j2,...,e_jmj) - вектор состояния подсистемы j – го уровня, определяющий некоторый допустимый уровень рассматриваемых характеристик.

Положим

 

 

 

 

Включение x₀∈G₀[E₀] означает, что все характеристики экосистемы не превышают допустимый уровень, множество X^E₀=X₀∩G₀[E₀] будем считать множеством допустимых состояний.

Предположим, что на множестве X₀ задано бинарное отношение Ф₀ , определяющее сравнительную оценку состояния систем: состояние, описываемое вектором x₀предпочтительнее состояния, описываемого вектором y₀ тогда и только тогда, когда (x₀, y₀)∈Ф₀.

Аналогично, для j – го уровня определим: ограничения E_ji∈X_j , бинарные отношения G_jiна X_j, а также связанные с ними множества G_ji[E_ji], E_j, G_j[E_j], X^E_j=X_j∩G_j[E_j] и бинарные отношения Ф_j на X_j. Не изменяя обозначений, транзитивно замкнём Ф_j , если Ô₀ - транзитивно.

В качестве критериев первого уровня могут выступать здоровье населения, экономические показатели. На более детальных уровнях – изменение численности хозяйственно-полезных или вредных популяций, динамика ценных или опасных веществ.

Рассмотрим здесь следующую функциональную модель, описываемую как управляемая динамическая система дискретного времени [1]:

Y_j+1→Y_j=MAX(Z^E_j,j+1, Ф_j), j=k-1.0

Z^E_j,j+1=g^-1_j,j+1(Y_j+1)⋂G_j[E_j]

Y_k=MAX(X^E_k,Ф_k) (1)

Для доказательства сходимости приведенной схемы введем предположение: Для всякого j [0, k-1] и i [i+1,k] выполняется условие: x_j∈X^E_j => x_i∈X^E_i (2).

Смысл его очевиден: допустимый вариант j-го уровня можно получить лишь “проработкой” допустимых уровней i∈[j+1,k].

На множестве 2^XE0 всех подмножеств множества X^E₀ зададим бинарное отношение S₀, положив P₀S₀Q₀ тогда и только тогда, когда P₀ внешне устойчиво в модели (P₀UQ₀, Ф₀) .

Справедлива теорема:

Теорема. Пусть выполняется условие (2) и отображения g^-1_0j, j=1,k , являются гомоморфизмами (X^E_j, Ф_j) моделей в модель (2^XE0). Тогда для схемы (1) выполняются условия:

I. X^E_*⊆Y₀, если Y₀≠0 и Ф₀ антисимметрично;

II. X^E_*=Y₀, если Y₀≠0 и Ф₀ антисимметрично и X^E_* внешне устойчиво в (X^E₀, Ф₀);

III. X^E_*=Y₀, если Ф₀ - порядок;

IV. (X^E_*=Y₀)|I_Ф0, если Ф₀ - квазипорядок.

При доказательстве этой теоремы используются две леммы:

Лемма 1. [2] Если отображение является гомоморфизмом модели в модель , то - транзитивно.

Лемма 2. [2] Если отображение g^-1(.) является гомоморфизмом модели (Y, G) в модель (2^XE0, S₀), то g^-1(.) - гомоморфизм (Y, G^t) в модель (2^XE0, S^t₀) .

Доказательство теоремы.

I. Докажем, используя метод математической индукции, что X^E*⊆g^-1_0k(Y_k), j=k,1

1. j=k

Допустим противное: найдется X^E*⊆(X^E_* = MAX (X^E_*, Ф₀))\g^-1_0k(Y_k))). Тогда x_k=g_0k(x₀)∉Y_k= MAX(X^E_k,Ф_k. Из введенного предположения следует, что xk∈X^E_k, поэтому найдется такое y_k∈X^E_k, что y_kФ_kx_k, y_k≠x_k.

Положим P₀=g^-1_0k(y_k)⋂G₀[E₀], Q₀=g^-1_0k(x_k)⋂G₀[E₀]. Очевидно, что P₀⋂Q₀=0.

В силу того, что g^-1_0k - гомоморфизм модели (X^E_k, Ф_k) в модель (2^XE0, S₀), множество P₀внешне устойчиво в модели (P₀∪Q₀, Ф₀) , т.е. для любого x₀∈Q₀ найдется такое y₀∈P₀, что y₀Ф₀x₀. Из максимальности x₀ в (X^E₀, Ф₀) следует x₀Ф₀y₀ . А из антисимметричности Ф₀-x₀=y₀, что противоречит P⋂Q₀=0. И поэтому получаем X^E_*⊆g^-1_0k(Y_k) .

2. Допустим X^E_*⊆g^-1_0n+1(Y_n+1).

3.Доказываем “от противного”: полагаем, что найдется x₀∈(X^E_*=MAX(X^E₀, Ф₀))\g^-1_0n(Y_n). Тогда x_n=g_0n(x₀)∉Y_n. По индукции - x₀∈g^-1_nn+1(Y_n+1), а из введенного предположения - x_n∈g^-1_nn+1(Y_n+1)⋂G_n[E_n]. Следовательно, существует y_n, y_n≠x_n: y_nФ_nx_n.

Положим P₀=g^-1_0n(y_n)⋂G₀[E₀], Q₀=g^-1_0n(x_n)⋂G₀[E₀]. Очевидно, что P₀⋂Q₀=0.

В силу того, что g^-1_0n- гомоморфизм модели (X^E_n,Ф_n) в модель (2^XE0, S₀) , множество P₀внешне устойчиво в модели (P₀∪Q₀, Ф₀) , т.е. для любого x₀∈Q₀ найдется y₀∈P₀: y₀Ф₀x₀. Из максимальности x₀ в модели (X^E₀, Ф₀) следует x₀Ф₀y₀ . А из антисимметричности отношения Ф₀-x₀=y₀ , что противоречит P₀⋂Q₀=0. И поэтому получаем X^E_*⊆g^-1_0n(Y_n).

Доказательство утверждения I теоремы завершено. Доказательства утверждений II – IV нетрудно провести, используя схему доказательства утверждения I.

Таким образом, определяются условия, позволяющие находить для каждой подсистемы такие параметры, которые бы обеспечивали эффективность функционирования системы в целом.

 

Список литературы

1. Юдин Д.Б. Обобщенное математическое программирование. Экономика и мат. методы, 1984, т. ХХ, Вып. I, с.148-167.

2. Вязгин В.А., Федоров В.В. Математические методы автоматизированного проектирования. М.: Высшая школа, 1987.

3. Вязгин В.А., Гончарова Н.А. Обобщённая задача математического программирования в проектировании систем. В сб. Системное программирование и модели исследования операций. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1993, с. 183-194.