Главная » Статьи » Наука и образование
12.12.2017 рейтинг 5.0 (2) | просмотров 143 | комментарии (0)

Физико-математические науки

 

Обобщенная задача математического программирования при моделировании сложных экологических систем

Ефремова Наталия Алексеевна – кандидат физико-математических наук, доцент Московского государственного машиностроительного университета. (МАМИ, г.Москва)

Гришина Елена Витальевна - кандидат физико-математических наук, доцент Московского государственного машиностроительного университета. (МАМИ, г.Москва)

В качестве методов анализа сложных систем в основном используют оптимизационные методы с единственным критерием выбора (методы математического программирования), но часто более адекватными реальным условиям являются многокритериальные методы, которые, к сожалению, в настоящее время недостаточно развиты. В данной работе предлагается использовать иерархические структуры, содержащие обобщённые задачи математического программирования [1], где критерии и ограничения формулируются в терминах бинарных отношений.

Важность и актуальность представленной проблематики определяется не только необходимостью понижения размерности многих практических задач, но прежде всего необходимостью изучения сложных систем, математическое описание которых достигается лишь в некоторых комплексах моделей. Необходимость получения согласованных решений порождает потребность в теоретических и экспериментальных исследованиях методов согласования решений взаимосвязанных задач, поскольку без развитой математической теории иерархических систем и её приложений к различным предметным областям невозможна разработка действительно новых информационных технологий.

Сложнейшей системой, имеющей развитую иерархическую структуру, является биосфера. Биосфера, как известно, состоит из биом, биомы распадаются на экосистемы, экосистемы – на популяции, виды – на подвиды.

Пусть на j – ом уровне, j = 0,1,…k, схемы сравнения подсистема описывается вектором xj, xj∈Xj, xj = (xj1, xj2,...,xjn)Так, если мы рассматриваем водную экосистему, вектор xj - формализация качества воды, xli - отдельная измеряемая характеристика (например, концентрация содержащихся в воде веществ). Далее определим ej=(ej1, ej2,...,ejmj) - вектор состояния подсистемы j – го уровня, определяющий некоторый допустимый уровень рассматриваемых характеристик.

Положим

 

 

 

 

Включение x0∈G0[E0] означает, что все характеристики экосистемы не превышают допустимый уровень, множество XE0=X0∩G0[E0] будем считать множеством допустимых состояний.

Предположим, что на множестве X0 задано бинарное отношение Ф0 , определяющее сравнительную оценку состояния систем: состояние, описываемое вектором x0предпочтительнее состояния, описываемого вектором y0 тогда и только тогда, когда (x0, y0)∈Ф0.

Аналогично, для j – го уровня определим: ограничения Eji∈Xj , бинарные отношения Gjiна Xj, а также связанные с ними множества Gji[Eji], Ej, Gj[Ej], XEj=Xj∩Gj[Ej] и бинарные отношения Фj на Xj. Не изменяя обозначений, транзитивно замкнём Фj , если Ô0 - транзитивно.

В качестве критериев первого уровня могут выступать здоровье населения, экономические показатели. На более детальных уровнях – изменение численности хозяйственно-полезных или вредных популяций, динамика ценных или опасных веществ.

Рассмотрим здесь следующую функциональную модель, описываемую как управляемая динамическая система дискретного времени [1]:

Yj+1→Yj=MAX(ZEj,j+1, Фj), j=k-1.0

ZEj,j+1=g-1j,j+1(Yj+1)⋂Gj[Ej]

Yk=MAX(XEkk) (1)

Для доказательства сходимости приведенной схемы введем предположение: Для всякого j [0, k-1] и i [i+1,k] выполняется условие: xj∈XEj => xi∈XEi (2).

Смысл его очевиден: допустимый вариант j-го уровня можно получить лишь “проработкой” допустимых уровней i∈[j+1,k].

На множестве 2XE0 всех подмножеств множества XE0 зададим бинарное отношение S0, положив P0S0Q0 тогда и только тогда, когда P0 внешне устойчиво в модели (P0UQ0, Ф0) .

Справедлива теорема:

Теорема. Пусть выполняется условие (2) и отображения g-10j, j=1,k , являются гомоморфизмами (XEj, Фj) моделей в модель (2XE0). Тогда для схемы (1) выполняются условия:

I. XE*⊆Y0, если Y0≠0 и Ф0 антисимметрично;

II. XE*=Y0, если Y0≠0 и Ф0 антисимметрично и XE* внешне устойчиво в (XE0, Ф0);

III. XE*=Y0, если Ф0 - порядок;

IV. (XE*=Y0)|IФ0, если Ф0 - квазипорядок.

При доказательстве этой теоремы используются две леммы:

Лемма 1. [2] Если отображение является гомоморфизмом модели в модель , то - транзитивно.

Лемма 2. [2] Если отображение g-1(.) является гомоморфизмом модели (Y, G) в модель (2XE0, S0), то g-1(.) - гомоморфизм (Y, Gt) в модель (2XE0, St0) .

Доказательство теоремы.

I. Докажем, используя метод математической индукции, что XE*⊆g-10k(Yk), j=k,1

1. j=k

Допустим противное: найдется XE*⊆(XE* = MAX (XE*, Ф0))\g-10k(Yk))). Тогда xk=g0k(x0)∉Yk= MAX(XEkk. Из введенного предположения следует, что xk∈XEk, поэтому найдется такое yk∈XEk, что ykФkxk, yk≠xk.

Положим P0=g-10k(yk)⋂G0[E0], Q0=g-10k(xk)⋂G0[E0]. Очевидно, что P0⋂Q0=0.

В силу того, что g-10k - гомоморфизм модели (XEk, Фk) в модель (2XE0, S0), множество P0внешне устойчиво в модели (P0∪Q0, Ф0) , т.е. для любого x0∈Q0 найдется такое y0∈P0, что y0Ф0x0. Из максимальности x0 в (XE0, Ф0) следует x0Ф0y0 . А из антисимметричности Ф0-x0=y0, что противоречит P⋂Q0=0. И поэтому получаем XE*⊆g-10k(Yk) .

2. Допустим XE*⊆g-10n+1(Yn+1).

3.Доказываем “от противного”: полагаем, что найдется x0∈(XE*=MAX(XE0, Ф0))\g-10n(Yn). Тогда xn=g0n(x0)∉Yn. По индукции - x0∈g-1nn+1(Yn+1), а из введенного предположения - xn∈g-1nn+1(Yn+1)⋂Gn[En]. Следовательно, существует yn, yn≠xn: ynФnxn.

Положим P0=g-10n(yn)⋂G0[E0], Q0=g-10n(xn)⋂G0[E0]. Очевидно, что P0⋂Q0=0.

В силу того, что g-10n- гомоморфизм модели (XEnn) в модель (2XE0, S0) , множество P0внешне устойчиво в модели (P0∪Q0, Ф0) , т.е. для любого x0∈Q0 найдется y0∈P0: y0Ф0x0. Из максимальности x0 в модели (XE0, Ф0) следует x0Ф0y0 . А из антисимметричности отношения Ф0-x0=y0 , что противоречит P0⋂Q0=0. И поэтому получаем XE*⊆g-10n(Yn).

Доказательство утверждения I теоремы завершено. Доказательства утверждений II – IV нетрудно провести, используя схему доказательства утверждения I.

Таким образом, определяются условия, позволяющие находить для каждой подсистемы такие параметры, которые бы обеспечивали эффективность функционирования системы в целом.

 

Список литературы

1. Юдин Д.Б. Обобщенное математическое программирование. Экономика и мат. методы, 1984, т. ХХ, Вып. I, с.148-167.

2. Вязгин В.А., Федоров В.В. Математические методы автоматизированного проектирования. М.: Высшая школа, 1987.

3. Вязгин В.А., Гончарова Н.А. Обобщённая задача математического программирования в проектировании систем. В сб. Системное программирование и модели исследования операций. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1993, с. 183-194.




Источник: http://na-journal.ru/1-2014-estestvennye-nauki/416-obobshhennaja-zadacha-matematicheskogo-programmirovanija-pri-modeliro

Оценка:
Автор публикации: Ефремова Н.А., Гришина Е.В.


Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]



Категория: Наука и образование | Добавил: antares (11.01.2015) | Автор: Ефремова Н.А., Гришина Е.В. E Просмотров: 143 | Рейтинг: 5.0/2
%